r = (p(n)) x (p(n)-1) x (p(n)-2) x・・・x (2) x (1) + 1

を考えました。これが p(n) 以下の正の整数では割り切れないことを見ました。次に、どんな正の整数でも割り切れないことを示すためには p(n)+1, p(n)+2,..., r-1 のどれでも割り切れないことを示せば十分です。この部分の証明に再び背理法を用います。つまり、

p(n) < s < r

なる整数 s で r を割り切るものがあったと仮定します。そのような整数はあっても r - p(n) - 1 個以下ですから、有限個です。ですから、そのような整数の中には最小のものが存在します。それを t としましょう。さて、この t についてどんなことが言えるでしょうか。続きは年が明けてから。では、よいお正月を。

p(1)=2, p(2)=3, p(3)=5,..., p(n-1), p(n)

とします。林君の話では

q = p(1) x p(2) x p(3) x・・・x p(n-1) x p(n) + 1

として、q が p(1), p(2), p(3), p(n-1), p(n) のどれよりも大きいこと、さらに p(1), p(2), p(3), p(n-1), p(n) のどれでも割り切れないことを示していました。最後の事実より q は素数であると結論づけていたのですが、この部分に小さな飛躍があると指摘しました。なぜなら、素数とは１と自分自身以外のどんな整数によっても割り切れない整数であって、自分自身以外の素数で割り切れない整数ではないからです。
そこで、q を少し変更して次の r を考えましょう。

r = (p(n)) x (p(n)-1) x (p(n)-2) x・・・x (2) x (1) + 1

つまり p(n) 以下の全ての整数の積に１を加えたものです。明らかに r は p(n) より大きい整数で、それに、2, 3, 4, ..., p(n)-1, p(n) のいずれでも割り切れません。でも、この数 r はずいぶん大きいので、ひょっとして p(n) よりも大きな整数で割り切れるのではないでしょうか・・・？　あとは自分で。

Maiko Ishikawa

*** ここまで終了 ***

How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー＋ 板谷　悠人
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作＋宮崎　未来
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義＋ 塚越　崇
Equality of Numbers 78 ....................
Composite Statements 81 ....................
Limits 91 ....................

*** ここまで終了 ***

Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 林　利充＋ 塚越　崇
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー＋ 板谷　悠人
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作＋宮崎　未来
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義
Equality of Numbers 78 ....................
Composite Statements 81 ....................
Limits 91 ....................

*** ここまで終了 ***

Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 宮崎　未来＋林　利充
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー＋ 板谷　悠人
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作＋ 塚越　崇
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義
Equality of Numbers 78 ....................
Composite Statements 81 ....................
Limits 91 ....................

*** ここまで終了 ***

Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 宮崎　未来＋林　利充
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎
Existence Theorems 58 .................... 板谷　悠人＋矢満田　理一郎
Uniqueness Theorems 61 .................... 塚越　崇＋宗田　真悠
Equality of Sets 68 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴
Equality of Numbers 78 .................... 水谷　亮介＋鮭川　矩義
Composite Statements 81 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子
Limits 91 .................... 斉藤　岳＋松田　紘治

竹原　令依子＋鈴木　哲也＋橋本　亮太郎＋崔　誠賢

です。
今回から参加してくれたのは社会工学類経営工学主専攻4年生の石川麻衣子さんです。小学校はアメリカ、その後イギリスとベルギーで中高と過ごしたそうですから、英語で分からないことは彼女に聞きましょう。
レジメをコピーしたい人はあらかじめ私まで連絡してください。

Basic Technique to Prove If/Then Statements 9 .................... 寺門　亮＋平木　通紘

*** ここまで終了 ***

Direct proof 12 .................... 竹原　令依子＋鈴木　哲也
Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 宮崎　未来＋林　利充
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎
Existence Theorems 58 .................... 板谷　悠人＋矢満田　理一郎
Uniqueness Theorems 61 .................... 塚越　崇＋宗田　真悠
Equality of Sets 68 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴
Equality of Numbers 78 .................... 水谷　亮介＋鮭川　矩義
Composite Statements 81 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子
Limits 91 .................... 斉藤　岳＋松田　紘治