初回参加希望者

野澤　寛
松元　真史
小松　尭雄
佐藤　拓海
島田　翔平
高田　洋介
藤原　聡王
飯田　ゆか
キン　ヒヒ
チョウ　シ
デン　ム
山門　弘直
佐藤　邦彦
山下　亮
秋田　美保子
飯塚　圭介
高野　麻衣子
龍　大暢
津上　昌輝
辻　祥太
東　宏憲

数理工学モデル化実習.key

y > b を仮定して、(i)を使って y > a を示す

となっています。

「任意の正の ε に対して、自然数 N が存在して、
N 以上の任意の n に対して |a(n) - α| < ε となる」

ここで、「任意の」という数学方言は「何でもいいよ、どんなに大きくても、どんなに小さくてもいいよ、あなたの意のままに任せるよ」ということです。

この定義は、大きく見ると

「任意の正の ε に対して、何かがが成り立つ」

という形をしています。ですから、その否定は

「ある正の ε が存在して、その ε に対してはその何かが成り立たない」

です。「その何か」は

「自然数 N が存在して、N 以上の任意の n に対して |a(n) - α| < ε となる」

ですが、これも大きく見ると

「ある性質を持った自然数 N が存在する」

と言っています。ですから「その何かが成り立たない」は

「ある性質を持った自然数 N が存在しない」

です。あるいは同じことですが、

「任意に自然数 N を持ってきても、そのある性質が成り立たない」

です。ですから、ここまでで定義の否定は

「ある正の ε が存在して、その ε に対してはその何かが成り立たない」
＝「ある正の ε が存在して、その ε に対しては、任意に自然数 N を持ってきても、そのある性質が成り立たない」

となります。最後の「そのある性質」とは

「N 以上の任意の n に対して |a(n) - α| < ε となる」

ですから、「そのある性質が成り立たない」は

「N 以上の n で |a(n) - α| < ε とならないものが存在する」

となります。以上をまとめると定義の否定は

「ある正の ε が存在して、その ε に対してはその何かが成り立たない」
＝「ある正の ε が存在して、その ε に対しては、任意に自然数 N を持ってきても、そのある性質が成り立たない」
＝「ある正の ε が存在して、その ε に対しては、任意に自然数 N を持ってきても、 N 以上の n で |a(n) - α| < ε とならないものが存在する」
＝「ある正の ε が存在して、その ε に対しては、任意に自然数 N を持ってきて も、N 以上の n で |a(n) - α| ≧ ε となるものが存在する」

となります。

否定される前の命題と比べると、「任意」が「存在」に代わり、「存在」が「任意」に代わっているのに気付くと思います。

q = r s

となります。ところで、

r < q,　　s < q

となりますから、r は素数であるか、あるいは素数でない場合には、「素数の積に分解できない」ことは有りません。q の最小性がここで効いています。ですから、r は素数であるかあるいは素数の積に分解できます。s についても同じですから、結局 q は素数の積に分解できました。これは矛盾です。間違っていたのは、初めに置いた仮定「素数でない正整数で素数の積に分解できないものが有る」です。したがってこの否定が正しく、言いたいことが言えました。

上に触れた関数のグラフ：原点でのあらゆる次数の微係数はゼロ

Michel Balinski

A >^{s}_{j} C

だけです。このプロファイルは、先に考えた p_{0}, ..., p_{n} のいずれとも異なっていても構いません。ただし、上の式の j は候補者 B に対応して決まった枢軸投票者です。
（３）質問93で、候補者 A, B はそれまでの議論で出てきた候補者ですので、固定されています。
（４）質問93の(c)は慎重に考えてください。なぜ、文末に「・・・に注意せよ」と有るのかが分からないとすると、あなたの議論は間違っています。

hosoku

v=(v(1),v(2),...,v(n))

と書きます。住田先生の質問にあったように無効票を考えていないので、どのv(j)もDあるいはSです。また、2人の候補者からなる集合{D,S}上で定義された関数γを

γ(D)=S, γ(S)=D

と定義します。つまり、Dが与えられるとSを出力し、Sが与えられるとDを出力する関数です。上で考えた投票に対して、j=1,2,...,nについて

w(j):=γ(v(j))

で定義される投票をまとめてw=(w(1),w(2),...,w(n))と書きます。これは投票vでSに投票していた投票者がDに投票し、Dに投票していた投票者がSに投票する投票です。

さて、これだけ準備すると中立性は以下のように述べることが出来ます。投票vでの勝者集合をVとします。Vは{D,S}の部分集合ですので、空集合、{D}、{S}、{D,S}のいずれかです。また投票vを関数γによって変換した投票wでの勝者集合をWとします。中立性とはこのとき

W=γ(V)

が成り立つことを言います。ここで、γ(V)は

V={D}ならγ(V)={S}
V={S}ならγ(V)={D}
V=φならγ(V)=φ
V={D,S}ならγ(V)={S,D}

です。初めの二つの場合では勝者集合が変化していますが、後の二つでは変化していません。γ(V)={S,D}ですが、この集合は集合として{D,S}と同じものです。この部分が「それに応じて変わる」と書いたノートの不備を住田先生が指摘した部分です。

次に強制ルールを定義しましょう。強制ルールはその勝者集合が投票の如何に拘わらず決まっているのですから、勝者集合、たとえばUと書きましょう、と不可分です。つまり、{D,S}のある部分集合Uが存在して、いかなる投票v=(v(1),...,v(n))でも勝者集合が常にUである、そんなルールです。ここで注意する必要があるのは、Uは空集合、{D}、{S}、{D,S}のいずれかであることです。

今日の授業で強制ルールは中立性を満たさないと話しました。しかし、空集合あるいは全体集合{D,S}を勝者集合とする強制ルールは中立性を満たします。

ですから、いつも引き分ける割当制は、強制ルールですが、中立性を満たすことになります。

「考えうる一番遠い未来を今日の行動の基準にせよ」

とどこかで読んだことがあります。それから考えると、高々3，４年先を考えている新入生諸君には、「そんなこと気にしないで興味の赴くまま勉強しなさい」といいたいと思いますし、そう言いました。

*** ここまで終了 ***

Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義＋ 塚越　崇

*** ここまで終了 ***

Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義＋ 塚越　崇

Maiko Ishikawa

*** ここまで終了 ***

Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義＋ 塚越　崇

*** ここまで終了 ***

"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作＋宮崎　未来
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義＋ 塚越　崇

Maiko Ishikawa

*** ここまで終了 ***

How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー＋ 板谷　悠人
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作＋宮崎　未来
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義＋ 塚越　崇
Equality of Numbers 78 ....................
Composite Statements 81 ....................
Limits 91 ....................

*** ここまで終了 ***

Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 林　利充＋ 塚越　崇
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー＋ 板谷　悠人
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作＋宮崎　未来
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義
Equality of Numbers 78 ....................
Composite Statements 81 ....................
Limits 91 ....................

*** ここまで終了 ***

Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 宮崎　未来＋林　利充
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー＋ 板谷　悠人
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作＋ 塚越　崇
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人.
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎＋松田　紘治＋宗田　真悠
Existence Theorems 58 ...................矢満田　理一郎＋水谷　亮介
Uniqueness Theorems 61 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴＋斉藤　岳
Equality of Sets 68 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子＋鮏川　矩義
Equality of Numbers 78 ....................
Composite Statements 81 ....................
Limits 91 ....................

*** ここまで終了 ***

Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 宮崎　未来＋林　利充
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷＋クーシーイー
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満＋佐藤　優作
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎
Existence Theorems 58 .................... 板谷　悠人＋矢満田　理一郎
Uniqueness Theorems 61 .................... 塚越　崇＋宗田　真悠
Equality of Sets 68 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴
Equality of Numbers 78 .................... 水谷　亮介＋鮭川　矩義
Composite Statements 81 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子
Limits 91 .................... 斉藤　岳＋松田　紘治

竹原　令依子＋鈴木　哲也＋橋本　亮太郎＋崔　誠賢

です。
今回から参加してくれたのは社会工学類経営工学主専攻4年生の石川麻衣子さんです。小学校はアメリカ、その後イギリスとベルギーで中高と過ごしたそうですから、英語で分からないことは彼女に聞きましょう。
レジメをコピーしたい人はあらかじめ私まで連絡してください。

Basic Technique to Prove If/Then Statements 9 .................... 寺門　亮＋平木　通紘

*** ここまで終了 ***

Direct proof 12 .................... 竹原　令依子＋鈴木　哲也
Related Statements 19 .................... 橋本　亮太郎＋崔　誠賢
Proof by Contrapositive 22 .................... 宮崎　未来＋林　利充
How to Construct the Negation of a Statement 25 .................... 矢吹　剣一＋三富　樹郷
"If and Only If" or "Equivalence Theorems" 35 .................... 嶋田　章＋後藤　満
Use of Counterexamples 45 .................... 山田　太一＋岩水　隼人
Mathematical Induction 48 .................... 萩原　大輔＋平山　裕一郎
Existence Theorems 58 .................... 板谷　悠人＋矢満田　理一郎
Uniqueness Theorems 61 .................... 塚越　崇＋宗田　真悠
Equality of Sets 68 .................... 大嶋　美穂＋萩原　夕貴
Equality of Numbers 78 .................... 水谷　亮介＋鮭川　矩義
Composite Statements 81 .................... 岩渕　佑一朗＋藤田　恵子
Limits 91 .................... 斉藤　岳＋松田　紘治