Poincare sphere

記述

ホモロジー群が球面と同じなのに球面と同相でないものとして 知られる。正12面体の対頂面を5/π回転の対応で同一視して得られる (下図で同じ番号の頂点を同一視する。)。
ここでデータとして提示するのはこれを三角形分割したもので、 BjornerとLutzによって示された、現在最も少ない面の数 (16頂点90ファセット)のもの。これは、bistellar exchange (flip)を局所変形としてsimulated annealingのようなヒューリスティクスで 最適化することによって得られたという。

組合せ分割に関して

このポアンカレ球面はホモロジーが球面と同じであるため、Cohen-Macaulay であることになるが、球面と同相でないため、constructibleではない。 (Constructibleな多様体は球面か球体となるので。)

データ

poincare.dat

表

vertex decomposable?	no
extendably shellable?	no
shellable?	no
constructible?	no
Cohen-Macaulay?	yes
partitionable	yes
topology	Homology sphere
f-vector	(1,16,106,180,90)
h-vector	(1,12,64,12,1)
made by	Poincare, 三角形分割はBjorner&Lutz

参考文献

A.Bjorner and F.H.Lutz, Simplicial manifolds, bistellar flips and a 16-vertex triangulation of the Poincar\'e homology 3-sphere", to appear in Experimental Mathematics.

F.H.Lutz, Triangulated manifolds with few vertices and vertex-transitive group actions, Shaker Verlag (1999).