例えば自然数の集合に「xとyを比べてyの方が大きい時にx≦y」という規則で 関係≦を定義すると上の定義をみたす。この場合は任意の2元の間に関係が定義 される。こういうものは「全順序」という。
全順序でない半順序の例としては、例えば整数を２つずつ組にしたもの (x1, x2)全体の集合を考え、２つの組 (x1, x2)と(y1, y2) の間に、「y1がx1より大きくてy2が x2より大きかったら (x1, x2)≦(x1, x2)」 というように定義すると上の３つの条件を満たすので半順序集合になるが、 例えば(3,4)と(4,2)の間には関係が定義されないことになる。
ポセットを表すのにハッセ図という記法がある。どういうものかというと、
順序関係は推移律によって「x≦y」と「y≦z」から自動的に「x≦z」が成り立つ
ことが分かるので、すべての関係を推移律を使って計算できるような最小セット
を与えておく、というようなものである。
例えば{a,b,c,d,e}という5元からなるポセットで
a≦b, a≦c, a≦d, a≦e, b≦d, c≦d, c≦e
というように関係が定義されているとすると、実はこのポセットは
a≦b, a≦c, b≦d, c≦d, c≦e
だけで記述できる。例えば「a≦e」は「a≦c, c≦e」から分かるので必要ない。
ここで「必要最小限の関係のセット」というのはx≦yであるが x≦z≦yとなる(x,y以外の)zが存在しないようなもの全体であることは簡単に分かる。 このようなzの存在しないx,yの関係はカバーの関係という。xはyにカバーされていて、 yはxをカバーしている、というようにいう。
この必要最小限の関係のセットを絵で表したのが下の絵で、このような 記法をハッセ図という。
x≦yでx≠yのとき、x＜yと書くことにする。
ポセットの中でx1＜x2＜…＜xt
のような列を鎖という。(「さ」と読むらしい。)
各xiがxi-1をカバーしているとき、
この鎖は飽和しているという。飽和した鎖のことを極大鎖ともいう。
ポセットにおいてどの元xに対してもa≦xであるような元aを最小元といい、 0(本当は\hat{0}と書きたいけど記号がない…)と書く。逆にどのxに対して もx≦bであるような元bを最大元といい、1(\hat{1})と書く。 0と1が両方存在するようなポセットはboundedであるという。 boundedでないときには最小元、最大元をつけてしまえばboundedになる。
ポセットの中の2元x＜yに対して、[x,y]={z|x≦y≦z}を区間という。
